1. Equations du premier degré à une variable : Problème 1
La résolution d'équations est une notion très importante en mathématiques. Les équations sont parfois plus complexes que les précédentes.
Par exemple, comment résoudre l'équation qui suit?
3 (2x +4) =8x-8 +4.
Il faut alors procéder en suivant les étapes suivantes:
- réduire à leur plus simple expression, si nécessaire, les expressions algébriques de chaque membre de l'équation;
- regrouper les termes contenant la variable dans l'un des membres de l'équation et les autres termes dans l'autre membre en utilisant la loi de transposition;
- additionner ou soustraire les termes semblables dans chaque membre de l'équation;
- isoler la variable en appliquant les propriétés de la multiplication ou de la division;
- résoudre l'équation;
- vérifier la solution en substituant la valeur numérique à la variable dans l'expression de départ.
3 (2x +4) =8x-8 +4
1.Réduction des expressions algébriques
Appliquons la propriété de la distributivité de la multiplication sur l'addition dans le membre de gauche de l'équation et additionnons les termes semblables dans le membre de droite de l'équation:
Ainsi, l'équation3 (2x +4) =8x-8 +4
Devient6x +12 =8x-4
2.Regroupement de termes semblables
Dans l'équation6x +12 =8x-4 on retrouve, dans les deux membres de l'équation, un terme contenant la variable et un terme constant.
Il faut donc transposer les termes contenant la variable dans un membre et les termes constants dans l'autre membre.
Généralement, on place les termes contenant la variable dans le membre de gauche.
En appliquant les règles de la transposition, on obtient:
6x +12 =8x-4
6x =8x-4-12
6x-8x =-4-12
3.Addition des termes semblables
6x-8x =-4-12 devient-2x =-16
4.Isolement de variable
En appliquant la loi de transposition, on obtient:
-2x =-16
x=
x=8
5.Vérification des résultats
Pour vérifier la solution, il suffit de remplacer la variable de l'équation initiale par sa valeur numérique puis d'effectuer les calculs afin de voir si l'on obtient une égalité. Vérifions la solution:
x =8
Soit l'équation donnée:
3 (2x +4) =8x-8 +4
Remplaçons x par8:
3 (2 
8 +4) =8 8 -8 +4
3 (16 +4) =64-8 +4
3 (20) =60
60 =60
La solution est effectivement8.
Il est possible que la solution d'une équation algébrique soit indéterminée, ou encore, qu'il n'existe aucune solution. Par exemple, si en isolant la variable x, on obtient:0x +5 =5, n'importe quelle valeur peut remplacer la variable x.
On dit alors que la solution est indéterminée.
Cependant, si en isolant cette variable, on obtient0x =5, l'équation ne possédera aucune solution, puisqu'on ne peut diviser un nombre par0.
2. Equations du premier degré à une variable : Problème 2
Par exemple, comment résoudrel'équation qui suit?
x -2 =
Il faut alors procéder en suivant les étapes suivantes:
- réduire à leur plus simple expression, si nécessaire, les expressions algébriques de chaque membre de l'équation;
- regrouper les termes contenant la variable dans l'un des membres de l'équation et les autres termes dans l'autre membre en utilisant la loi de transposition;
- additionner ou soustraire les termes semblables dans chaque membre de l'équation;
- isoler la variable en appliquant les propriétés de la multiplication ou de la division;
- résoudre l'équation;
- vérifier la solution en substituant la valeur numérique à la variable dans l'expression de départ.
x -2 = 
x +7
1.Transposition des termes
x - x =7 +2
2.Opérations sur les termes semblables
x - x =9
x =9
3.Isolement de la variable
x =9 
x =3
4.Vérification de la solution
30-2 = 30 +7
-2 = 
+7
18-2 =9 +7
16 =16
La solution est effectivement30.
Pour trouver la solution d'une équation, on doit toujours rendre le coefficient de la variable positif. Lorsqu'on change le signe de tous les termes de l'équation, la solution reste la même.
Si l'on obtient -x=18, il faut multiplier chaque membre par21 afin d'obtenir donc, x =218.
3. Résolution d'équations du premier degré à deux variables
En mécanique industrielle, il arrive souvent que l'on doive substituer des données dans des formules de calcul.
L'exemple suivant met en relief les étapes de résolution de ce type de problème.
a)7x-3y =10
b)5x-2y =8
1.Isolement d'une variable en fonction d'une autre
La première étape de la résolution de ce type de problème consiste à isoler une variable en fonction de l'autre dans une seule des équations du système. Prenons donc la deuxième équation et isolons y:
5x-2y =8
-2y =-5x +8
2y =5x-8
y = 
2.Substitution de la variable y
Substituons maintenant l'expression obtenue à l'étape7, à la variable y dans l'autre équation. (Cela permet d'obtenir une équation à une seule variable).
7x-3y =10
7x-3 
=10
3.Résolution de l'équation
Il ne reste plus qu'à résoudre l'équation obtenue:
7x - 
=10
=10
14x -15x +24 =10
-x=20-24
-x =-4
x =4
4.Substitution de la valeur de la variable x
Substituons maintenant la valeur de la variable x obtenue à l'étape3 dans l'équation3 pour déterminer la valeur de y:
y =
y = 
y = 
=6
y = 
=6
5.Vérification des résultats
Remplaçons les valeurs déterminées (x =4 et y =6) dans chacune des équations de départ:
| 7x-3y =10 | 5x-2y =8 |
| 7 (4)-3 (6) =10 | 5 (4)-2 (6) =8 |
| 28-18 =10 | 20-12 =8 |
| 10 =10 | 8 =8 |
Dans ce système d'équations, la solution est donc la suivante:
x =4 et y =6
A la lumière de l'exemple précédent, vous aurez compris que substituer signifie remplacer une chose par une autre pour lui faire jouer le même rôle.
Dans la deuxième étape de l'exemple, la variable a été remplacée par son expression équivalente, soit .
Cette substitution a permis d'exprimer la variable y en fonction de x. Ainsi, il a été possible de transformer l'équation à deux variables en une équation comportant une seule variable.
Pour résoudre un système d'équations du premier degré à deux variables par la méthode de substitution, on doit:
- isoler, dans une seule des deux équations du système, une variable afin de l'exprimer en fonction de l'autre;
- substituer l'expression ainsi obtenue à cette variable dans l'autre équation du système;
- résoudre cette équation à une variable;
- substituer cette valeur dans l'équation obtenue à la première étape;
- vérifier la solution dans chacune des équations d'origine.
Pour déterminer la valeur de deux variables différentes, il est nécessaire de connaître au moins deux équations les utilisant.
Vote en cours...
Évalue ce cours !
Note 4 / 5. Nombre de vote(s) : 4
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
S’abonner
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
S’abonner
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
S’abonner
Desvidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
S’abonner
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
S’abonner
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
S’abonner
